Влияние поперечного профиля футеровки шаровых барабанных мельниц на режим и энергетические параметры работы загрузки

РЕФЕРАТ. Приведен краткий анализ помольного оборудования, используемого для измельчения материалов в цементной промышленности. Ожидается, что в ближайшие годы шаровая барабанная мельница останется основным помольным агрегатом в крупнотоннажном производстве. Одно из основных направлений совершенствования конструкций шаровых барабанных мельниц — создание такой футеровки, которая бы значительно интенсифицировала процесс измельчения материала. Рассмотрена существующая теория расчета режима движения мелющих тел, указаны ее недостатки. Предложен новый подход в расчете скоростных и энергетических параметров работы загрузки. Получены уравнения для расчета углов отрыва и падения шара (с учетом высоты выступов на футеровке); скоростей в момент отрыва шара от футеровки и в момент падения в точке удара; кинетической, потенциальной и полной энергии шара в момент его удара. Приведены и проанализированы графические результаты расчетов.

Ключевые слова: шаровая барабанная мельница, мелющие тела, шар, загрузка, угол отрыва, угол падения, скорость удара, кинетическая и потенциальная энергия, измельчение.

Keywords: ball drum mill, grinding bodies, ball, grinding charge, separation angle, angle of fall, impact velocity, kinetic and potential energy, grinding.

Введение

В цементной промышленности России и других стран самое большое распространение в качестве агрегата для помола цемента получили шаровые барабанные мельницы (ШБМ). Их доля в общем парке мельниц превышает 80 %. Как ожидается, ввиду простоты конструкции, низких эксплуа­тационных расходов, возможности автоматизации работы и достаточно высокой часовой производительности ШБМ в обозримом будущем останутся основным помольным агрегатом в производстве цемента. За годы эксплуатации конструкция ШБМ принципиально не изменилась: в ее основе — ​барабан, заполненный мелющими телами (МТ, которые при вращении барабана измельчают материал до требуемого размера частиц). Усовершенствования ШБМ заключались в следующем: увеличении габаритов мельницы, которые к настоящему времени достигли предельных значений; совершенствовании привода и внут­римельничных устройств; применении различных схем измельчения и т. д.

В ходе проведенных модернизаций не удалось существенно повысить КПД помольного агрегата в целом. Весь комплекс проведенных модернизаций позволил снизить удельный расход энергии не более чем на 20 % [1—4].

Как нам представляется, одно из направлений дальнейшего совершенствования работы ШБМ — создание такой конструкции футеровок, которая бы обеспечивала требуемый энергетический режим работы МТ на каждом участке барабана мельницы при минимальном износе футеровки и МТ. Все типы применяемых футеровок ШБМ в конечном счете различаются высотой выступов, обеспечиваю­щих подъем МТ на требуемую высоту и измельчение материала ударом (водопадный режим) или истиранием (каскадный режим) [5, 6].

Кинетика движения шаров с учетом профиля футеровки

Задать требуемый режим работы МТ по длине барабана мельницы на протяжении рабочего цикла можно путем изменения шага и высоты выступов футеровки, за счет чего в большом диапазоне значений изменяется коэффициент сцепления футеровки с мелющими телами как в поперечном, так и в продольном сечениях. Шаг и высоту выступов выбирают с учетом физико-механических свойств измельчаемого материала и требований к готовому продукту.

При расчете траектории движения МТ и их энергетических параметров рассмотрим два наиболее характерных конструктивных варианта футеровки, при первом из которых высота выступа футеровки меньше диамет­ра шара, а при втором — ​больше этого диа­метра.

Параметры движения шара при условии h_с < r_ш

На рис. 1 представлена расчетная схема, для случая, когда высота выступа h_с футеровки меньше радиуса шара r_ш. Исходя из этой схемы и с учетом действующих на шар сил определим угол, при котором шар оторвется от поверхности футеровки.

Рис. 1. Условия отрыва шара от барабана

Условие равновесия шара в системе координат, связанной с барабаном, запишем в виде

или (в системе координат, связанной с центром шара) в виде двух уравнений:

где α₁— ​угол, при котором шар оторвется от поверхности футеровки; α₂ — ​угол, определяемый по формуле cos α₂ = 1 – h_c/r_ш.

Так как , где m — ​масса шара, ω — ​его угловая скорость, R — ​внут­ренний радиус барабана мельницы, g — ​ускорение свободного падения, ψ — ​относительная частота вращения барабана, из сис­темы уравнений (2) находим угол α₁:

Основное отличие футеровки с выступами от гладкой футеровки — то, что после отрыва от поверхности футеровки шар продолжает подниматься вверх, а не переходит на параболическую траекторию свободного падения. В таком случае на МТ действуют центробежная сила и вес шара.

Шар, продолжая подниматься вверх, оторвется от выступа футеровки в тот момент, когда сила  обращается в ноль:

где  — ​относительная сила инерции.

В проекции на ось Х уравнение (4) примет вид

Так как , а  то из уравнения (5) следует:

где α_ш — угол, при котором шар оторвется от выступа футеровки, ω_ш — ​угловая скорость шара.

Функция α₃(t) вычисляется до тех значений t, при которых выполняется соотношение (6).

Определяя начало движения шара по параболической траектории, необходимо учесть, что, в отличие от классической тео­рии Дэвиса [7], имеет место следующее:

1) шар уже вышел с круговой траек­тории, оторвавшись от барабана мельницы, и вращает­ся вокруг выступа футеровки;

2) в результате этого вращения он получил дополнительную скорость.

В неподвижной системе координат (рис. 2) координаты центра масс (ЦМ) шара определяются по формулам:

где 

Рис. 2. Расчетная схема усилий при h_с > r_ш

Абсолютная скорость ЦМ шара геомет­рически складывается из относительной v_r = ω_шr_ш и переносной v_c = ωR_c скоростей, поэтому

Итак, нами получены уравнения для расчета углов отрыва, координаты и скорости шара при переходе его на параболическую траекторию движения при условии, что высота выступа футеровки меньше радиуса шара.

Параметры движения шара при условии h_с > r_ш

В этом случае шар отрывается от барабана мельницы в соответствии с теорией Дэвиса и его угол отрыва равен α = arccosψ².

После отрыва от внутренней поверхности барабана шар продолжает катиться по выступу футеровки и поднимается ею вверх. Соглас­но расчетной схеме (см. рис. 2), уравнение движения шара имеет вид

где α = α₁ – ψt. 

Ось Х направлена от ЦМ шара к оси барабана.

После интегрирования уравнения (9) и соответствующих преобразований получим

Поскольку шар до края выступа футеровки проходит путь s = h_c — ​r_ш, время его движения t₁ по этому выступу рассчитывается по уравнению

После определения t₁ угол α₂, при котором шар достигает края выступа футеровки, находится по формуле

Условие отрыва шара от выступа футеровки определяется по уравнению

Путем интегрирования уравнения (13) опре­деляются время движения t₂, угол α₃, угловая скорость шара ω_ш и угол отрыва шара от выступа футеровки α₂ = α_2,0 – ωt₂.

Координаты и скорости шара на параболической траектории движения ЦМ шара в соответствии с рис. 2 определяются следующим образом:

При расчете углов отрыва шара от выступов футеровки входными параметрами являют­ся относительная частота вращения барабана ψ, радиус барабана R, радиус шара r_ш и относительная высота выступа футеровки a_в = h_c /r_ш.

В случае a_в < 1 численно, методом Рунге—Кутта четвертого порядка точности с модификацией Гилла, решалось дифференциальное уравнение (6). В случае a_в > 1 численно решалось методом Ньютона уравнение (11). В результате вычислялись значения α₂, X_o, Y_o, v_xo, v_yo.

После отрыва шара от выступа футеровки его дальнейшее движение описывается уравнениями

Момент удара шара о футеровку определяется уравнением

По формулам (16), (17) определяются время движения шара до удара о футеровку или загрузку, координаты шара в момент удара и его скорость.

По приведенным далее формулам рассчитываются высота Н подъема шара, потенциальная П и кинетическая K энергии шара в точке удара, тангенциальная и нормальная составляющие скорости V и кинетической K энергии в точке удара и угол α_n падения шара:

Обсуждение результатов расчетов

Согласно теории Дэвиса, углы отрыва и падения шара зависят только от частоты вращения барабана мельницы (рис. 3—5). Масса шара и профиль футеровки не учитываются. Однако нами установлено, что профиль футеровки, в частности высота выступов, позволяет не только регулировать значение коэффициента сцепления, но и существенно влияет на режим работы МТ: углы подъема и падения, высоту падения, энергию и скорость шара при ударе и их составляющие.

Рис. 3. Расчетные зависимости α₂ (а_в, r_ш, R, ψ): 1 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65; 2 — ​R = 1,15, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,65; 3 — ​R = 1,52, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85; 4 — ​R = 1,52, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,85; 5 — ​R = 1,85, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85 — ​по теории Дэвиса; 6 — ​R = 1,5, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65 — ​по теории Дэвиса

Рис. 4. Расчетные зависимости α_П (а_в, r_ш, R, ψ): 1 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65; 2 — ​R = 1,15, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,65; 3 — ​R = 1,52, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85; 4 — ​R = 1,52, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,85; 5 — ​R = 1,15, r_ш = 0,65 м, ψ = 0,85 — ​по теории Дэвиса; 6 — ​R = 1,15, r_ш = 0,85 м, ψ = 0,65 — ​по теории Дэвиса

Рис. 5. Расчетные зависимости H_П (а_в, r_ш, R, ψ): 1 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,7 — ​по теории Дэвиса; 2 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,7; 3 — ​r_ш = 0,05 м, ψ = 0,7; 4 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65 — ​по теории Дэвиса; 5 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65; 6 — ​r_ш = 0,05 м, ψ = 0,65; 7 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85 — ​по теории Дэвиса; 8 — ​r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85; 9 — ​r_ш = 0,05 м, ψ = 0,85

Угол отрыва шара любого диаметра (по тео­рии Дэвиса), находящегося в мельнице с радиусом барабана, например, R = 1,15 м, при частоте вращения ψ = 0,65 равен 65°, а при ψ = 0,85 равен 43°; угол падения α_n соответственно равен –15° и 48°, т. е. значения углов отрыва и падения при установленной частоте вращения барабана в течение цикла не изменяются (см. рис. 3—5).

Если относительная высота ступеньки равна, например, а_в < 0,75, то отрыв шара происходит раньше, чем у мельниц с гладкой футеровкой (см. рис. 3). Выступ футеровки как бы отрывает шар от внутренней поверхности барабана и переводит его на траекторию свободного падения. В этом случае углы падения меньше, чем у мельниц с гладкой футеровкой (см. рис. 4).

При наличии на футеровке выступов высотой меньше 0,75r_ш увеличивается коэффи­циент сцепления, однако шар рано отрывается от барабана и приобретает недостаточную энергию — ​даже меньшую, чем в мельницах с гладкой футеровкой при той же частоте вращения (см. рис. 5). При этом чем больше масса шара, тем на большую высоту он поднимается. Например, при r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85, R = 1,15 м, а_в = 0,7 шар отрывается от футеровки при α₂ = 68°. При r_ш = 0,05 угол отрыва составляет 62° (по теории Дэвиса угол отрыва равен 43°).

С увеличением высоты выступа на футеровке от 0,8r_ш до 1,2r_ш шары поднимаются на больший угол, чем у мельниц с гладкой футеровкой, углы падения в этом случает также возрастают и превышают соответствующие значения углов падения для мельниц с гладкой футеровкой (см. рис. 3, 4).

Характер функции α₂ (а_в, r_ш, R, ψ) показывает (см. рис. 3), что для шаров любого радиуса при увеличении относительной высоты ступеньки угол отрыва α₂ уменьшается до определенного значения а_в, после чего α₂ возрастает. Функция α₂ (а_в, r_ш, R, ψ) имеет экстремум, соответствующий α₂ = min. Для различных значений r_ш, R, ψ экстремум α₂ соответствует определенному соотношению h_c / r_ш.

Например, при R = 1,15 м, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65 получим α₂min = 22° при а_в = 1,22, а при r_ш = 0,05 м и тех же R и r_ш — α₂min = 1,5° при а_в = 1,5. С увеличением ψ до 0,85 минимальное значение α соответствует режиму, близкому к центрифугированию: при R = 1,15 м, r_ш = 0,02м; ψ = 0,85 получим  α₂min = –15° при а_в = 1,6.

Таким образом, изменяя высоту выступа футеровки, можно не только установить требуемый коэффициент сцепления, но и задать любой режим работы МТ как в поперечном, так и в продольном сечении барабана.

Например, если в поперечном сечении барабана мельницы изменить высоту выступов на поверхности футеровки от 0,4r_ш до 1,8r_ш, то угол отрыва шара в течение цикла изменяется от 89° (см. рис. 3, кривая 1) до 22°. Если же, соответственно, изменить высоту и шаг выступов в соседних поясах футеровки, то мы установим требуемый режим работы МТ на любом участке барабана мельницы, тем самым обеспечивая селективность процесса измельчения материала.

Высота падения шара — ​особая характеристика режима его работы, определяющая, в конечном счете, энергию удара, скорость в точке падения и эффективность процесса измельчения в целом.

Экстремумы функции Н_П(а_в, r_ш, R, ψ) для различных диапазонов значений а_в, r_ш, R, ψ существенно смещаются как по «амплитуде», так и по «фазе» (см. рис. 5). При этом увеличение частоты вращения барабана мельницы не обеспечивает увеличения высоты падения шара, хотя угол отрыва уменьшается. С увеличением ψ максимальная высота падения шара достигается при меньшей относительной высоте выступов (см. рис. 5, кривые 5 и 8). При а_в > 1,2 высота падения, а следовательно, и энергия шара минимальны (см. рис. 5, кривые 8 и 9).

В области 0,6 < а_в < 1,2 функция Н_П(а_в, r_ш, R, ψ) принимает максимальные значения. Это подтверждает ранее сделанный вывод (относительно α₂ и α_п ) о том, что существует область наиболее рациональных соотношений h_c / r_ш, позволяющих задать такой энергетический режим работы МТ, который удовлетворяет требованиям технологии измельчения материала.

Функция V(а_в, r_ш, R, ψ) (риc. 6) по характеру и виду аналогична функции Н_П(а_в, r_ш, R, ψ). Максимумы скоростей шара в точке удара находятся в области 0,7 < а_в < 1,2. Например, при изменении а_в от 0,4 до 1,8 скорость шара изменяется от 3 до 6,5 м/с, т. е. более чем в 2 раза. Следовательно, изменяя высоту профиля футеровки, при той же частоте вращения барабана мельницы можно изменять в 2 раза скорость шара в точке удара, в то время как при расчете по теории Дэвиса эта скорость постоянна, так как не учитывается влияние профиля футеровки.

Рис. 6. Расчетные зависимости V(а_в, r_ш, R, ψ): 1 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65 — ​по теории Дэвиса; 2 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,65; 3 — ​R = 1,15, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,65; 4 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85 — ​по теории Дэвиса; 5 — ​R = 1,15, r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85; 6 — ​R = 1,15, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,85; 7 — ​R = 1,52, r_ш = 0,05 м, ψ = 0,85

Функция E(а_в, r_ш, R, ψ), отображающая полную энергию шара в точке падения, также имеет экстремум (рис. 7).

Рис. 7. Расчетные зависимости E(а_в, r_ш, R, ψ): 1, 2, 3, 7, 8, 9 — ​R = 1,15; 4, 5, 6, 10, 11, 12 — ​R = 1,52; 1—6 — ​ψ = 0,65; 7—12 — ​ψ = 0,85; 1, 5, 8, 11 — ​r_ш = 0,02 м; 2, 4, 7, 10 — ​r_ш = 0,05 м; 3, 6, 9, 12 — ​по теории Дэвиса.

Наибольшие колебания полной энергии шара вызываются изменением радиуса барабана мельницы (см. рис. 7, кривые 1 и 8). Изменения массы шара и частоты вращения барабана мельницы в меньшей мере влияют на значение Е, чем R. Например, при увеличении R с 1,15 м до 1,52 м энергия шара возрастает с 4,2 до 7,4 Дж (r_ш = 0,02 м, ψ = 0,85, а_в = 0,8), а увеличение ψ от 0,65 до 0,85, при соответствующих r_ш, ψ, ав, приводит к изменению Е с 4,4 до 5,0 Дж. Здесь также суще­ствуют четко выраженные диапазоны значений рацио­нальной высоты выступов футеровки, которые обеспечивают максимальное значение Е. Энергия Е, приобретаемая шаром при 0,4 < а_в < 1,8, варьируется в пределах от 100 до 280 % минимального значения (см. рис. 7).

Известно, что нормальная составляющая энергии шара в точке падения обеспечивает измельчение материала путем удара, а тангенциальная — ​путем истирания. Если в мельнице с гладкой футеровкой при существующем подходе в теории барабанных мельниц соотношение между значениями нормальной и тангенциальной составляющих равно E_T = 0,37E_Н и не изменяется при установленных r_ш, R, ψ, то разработанная нами модель позволяет, при соответствующем значении а_в, задать требуемое соотношение E_Н и E_T.

Предположим, что мы измельчаем мягкий материал и требуется, чтобы в барабанной мельнице истирающие усилия преобладали над ударными, т. е. E_T > E_Н. С этой целью необходимо использовать в мельнице футеровку с выступами а_в > 1,2. При изменении а_в от 0,4 до 1,8 соотношение E_T и E_Н изменится от E_T = 0,1E_Н до E_T = 5E_Н.

Безусловно, такое изменение соотношения составляющих энергии шара, которые определяют режим измельчения материала в зависимости от профиля футеровки, говорит о существенном резерве возможностей для барабанных мельниц.

Выводы

Разработанная нами математическая модель движения шара учитывает один из главных кинематических элементов, участвующий в передаче энергии от привода к мелющим телам, — ​профиль футеровки и позволяет рассчитать траекторию шара, углы отрыва и падения, скорость и энергию шара. В конечном счете разработанная нами модель дает возможность по требуемому энергетическому режиму рассчитать профиль футеровки и для поперечного, и для продольного сечения барабана.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что существующая методика расчета по теории Дэвиса, которая не учитывает профиля футеровки, дает искаженное представление о режимах движения МТ в барабанных мельницах. Установлено, что изменяя соотношение между высотой выступов футеровки и радиусом шара, можно в широких пределах регулировать режим работы загрузки. Определена рациональная относительная высота выступов футеровки, которая находится в области 0,7 < а_в < 1,2.

Работа выполнена в рамках поддержанного Российским научным фондом проекта № 22—29—01438.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андреев С.Е., Зверевич В.В., Петров В.А. Дробление, измельчение и грохочение полезных ископаемых. М.: Недра, 1980. 415 с.

2. Дуда В. Цемент. М.: Стройиздат, 1981. 464 с.

3. Богданов В.С., Ильин А.С., Семикопенко И.А. Процессы в производстве строительных материалов. Белгород: Везелица, 2007. 512 с.

4. Богданов В.С., Шарапов Р.Р., Фадин Ю.М. Основы расчета машин и оборудования предприятий строительных материалов и изделий. Старый Оскол: ТНТ, 2013. 680 с.

5. Морозов Е.Ф. О величине полезной мощности шаровой мельницы при водопадном режиме работы дробящих тел // Горный журнал. 1970. № 12. С. 68—75.

6. Крюков Д.К. Футеровка шаровых мельниц. Старый Оскол: Машиностроение, 1968. 184 с.

7. Дэвис Э.В. Тонкое измельчение в шаровых мельницах // Теория и практика дробления и тонкого измельчения: сб. статей. М.: Гостехиздат, 1932. С. 194—234.