Конечно-элементное моделирование структуры и деформативных свойств цементных бетонов

РЕФЕРАТ. Статья посвящена совершенствованию методов конечно-элементного моделирования структуры и эксплуатационных свойств цементного бетона. Актуальность разработки определяется перспективностью расширения возможностей конечно-элементного (КЭ) моделирования в программных комплексах для решения задачи прогнозирования и регулирования деформационных свойств цементного бетона. Поэтому целью данной работы стало создание адекватной КЭ модели структуры цемент­ного бетона, позволяющей с достоверностью оценить напряженно-деформированное состояние и рассчитать модуль упругости. Для этого был проведен анализ результатов ранее проведенного авторами на основе экспериментальных данных расчета модуля упругости цементного бетона при сжатии и структурного математического моделирования его свойств, а также анализ различных видов КЭ моделей с применением предыдущего опыта КЭ моделирования структуры цементного камня. В результате разработана адекватная шарнирно-стерж­невая КЭ модель цементного бетона, позволяющая с учетом факторов состава бетонной смеси с высокой точностью прогнозировать прочность и модуль упругости бетона. Определены перспективы развития полученных КЭ моделей и их применения в прогнозировании и регулировании упругих свойств цементного бетона.

Ключевые слова: цементный бетон, модуль упругости, прочность при сжатии, структурная модель, конечно-элементная модель.

Keywords: cement concrete, modulus of elasticity, compressive strength, structural model, finite element (FE) model.

Введение

Конструирование материалов, т. е. науч­но обоснованное рациональное конструирование структуры материала из конечных элементов, форма, свойства и расположение которых соответствует особенностям структуры выбранного вида материала, является перспективным направлением в современном строительном материаловедении [1]. Разработка методов конструирования материалов с применением программных комплексов может вывести на новый уровень как технологию, так и получение новых видов материалов. На этом новом уровне состав материала определяется оптимальной структурой, элементы которой, их свойства и распределение рассчитываются по адекватным моделям в соответствии с заданными экс­плуатационными свойствами. В первую очередь, разработка методов конструирования материалов требует создания адекватных конечно-элементных (КЭ) моделей структуры, поскольку такие модели обеспечивают комплексную оценку механических и деформативных свойств материала — ​его напряженно-деформированного состояния (НДС). На основании закономерностей НДС можно определить различные виды прочности, модуль упругости, модуль деформации материала.

Моделирование структуры цементного бетона и его свойств с применением метода конечных элементов и программных комплексов — ​предмет различных исследований. Подходы в КЭ моделировании можно классифицировать на несколько видов:

1) макроструктурное КЭ моделирование бетонных и железобетонных конструкций, когда структура однородной модели разбивается на равномерные или неравномерные КЭ участки с одинаковыми свойствами [2, 3]. Такой подход позволяет моделировать НДС конструкции, но не отображает взаимосвязь свойств бетона с его структурой;

2) структурно-феноменологическое моделирование на основе статистической теории упругости, при котором неоднородность материала нивелируется определением усредненных характеристик микрообъемов, т. е. структура сводится к однородной. Взаимо­связь свойств с реальной структурой бетона также не отображается [4];

3) методы расчета элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов с учетом анизотропии физико-механических свойств, масштабных и геометрических факторов [5—7], когда неоднородность учитывает­ся путем определения участков концентрации напряжений в переходных зона, порах, трещинах. На основе таких методов получены работоспособные КЭ модели структуры бетона, более феноменологические и основанные на статистическом подходе. Такие модели оперируют непосредственно элементами структуры бетона, что затрудняет отображение взаимосвязи моделей с его составом;

4) 3D‑моделирование структуры бетона из трех базовых элементов —заполнителя, матрицы и зоны контакта (со стохастическим распределением различных фракций), поз­воляющее получать на основе 3D‑моделей адекватные КЭ модели механических и деформативных свойств [8—10].

Определяющее значение в последнем варианте моделирования структуры бетона имеет учет зоны контакта цементного камня и заполнителя [11, 12], при этом в КЭ‑моделировании предлагается рассматривать ее как зону толщиной до 50 мкм с переменным содержанием воды, т. е. как элемент определенного размера с повышенными значениями деформативных показателей [13]. Это полностью сочетается с разработками в области моделирования модуля упругости бетонов [14, 15]. В связи с тем, что в этих разработках значимым фактором при моделировании свойств бетона является относительная толщина межфазной зоны контакта (МЗК), было выдвинуто предположение о возможности разработки КЭ моделей бетона с применением усредненных геометрических показателей его структуры.

Цель настоящего исследования — ​разработать адекватную КЭ структурную модель цементного бетона, определяющую его деформативные свойства, с применением усредненных геометрических структурных параметров и методов расчета относительной толщины зоны контакта, разработанных в прежних исследованиях авторов [16].

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1) анализ результатов экспериментального исследования деформирования бетона при нагружении и разработка вариантов щарнирно-стержневых КЭ моделей структуры бетона с учетом предыдущего опыта структурного моделирования;

2) анализ зависимостей «напряжение—​деформация», полученных с использованием предложенных КЭ‑моделей, и выбор наиболее адекватного варианта модели;

3) апробация полученной КЭ‑модели в расчете деформаций при нагружении, модуля упругости и прочности цементного бетона с оценкой адекватности этой модели.

Методика исследований, КЭ моделирования и экспериментальные данные для оценки его адекватности

Аналитическое исследование включало в себя следующие задачи:

• оценку адекватности разработанной ранее структурной модели [16];

• разработку различных видов КЭ стержневых моделей бетона и выбор наиболее адекватной модели, отвечающей фактической картине деформирования бетона под нагрузкой;

• оценку адекватности выбранной КЭ модели при расчете прочности, деформаций под нагрузкой и модуля упругости.

В качестве структурной модели применялась тетраэдрическая упаковка элементов с определенными для нее зависимостями [17], ставшими основой для КЭ моделирования цементного камня в работе [16]. Ключевой расчетный параметр данной модели — структурная плотность [16, 17].

Адекватность определения относительной толщины МЗК по авторской структурной модели [16] оценивалась на основе градиент­ности строения матричного компонента в бетонах: центральный слой цементного камня уплотнен, и его водосодержание до затвердевания близко к водопотребности цемента — ​его стандартной нормальной гус­тоте W/С_cem = 0,22…0,28, а объем слоя зоны контакта формируется водой, адсорбированной заполнителем, количество которой V_itz соответствует водопотребности заполнителя, рассчитываемой как количество остаточной воды после вычета водопотребности це­мента:

где W/С — ​водоцементное отношение.

В работе [17] получена модель для оценки относительной толщины плотного слоя:

где k_HS — ​относительная толщина плотного слоя при водосодержании, равном W/С_cem.

По этому уравнению с учетом закономерностей тетраэдрической упаковки была рассчитана абсолютная толщина МЗК для мелкозернистых бетонов с различными цементно-песчаными соотношениями и экс­периментальными показателями свойств, приведенными в работе [17].

Разработка различных видов КЭ стержневых моделей бетона основывалась на принципе Юнга, согласно которому структуры цемент­ного камня и бетона аналогичны, поскольку каждая из них имеет жесткое ядро и диспергированную матричную оболочку. По этому принципу в настоящей работе структура бетона рассматривается аналогично структуре цементного камня как тетраэд­рическая стерж­невая модель, в которой частицы заполнителя представлены в виде жестких каркасов, соединенных неоднородными стержневыми связями и включающих в себя участки МЗК и цементного камня центральной прослойки (рис. 1). Оценка относительных линейных размеров этих участков основана на предложенном в работе [14] методе расчета относительных толщин слоев элементов бетона: цементного камня (cem), заполнителя (agg) и контактной зоны (itz) — ​МЗК:

где δ_mv — ​толщина выделенного микрообъе­ма, объединяющего все структурные слои; δ_cem — ​толщина слоя цементного камня;  δ_itz — ​толщина слоя зоны контакта цементного камня и заполнителя; δ_agg — ​толщина слоя заполнителя.

Рис. 1. Базовый тетраэдрический элемент КЭ модели бетона. Имитационные элементы: синий — ​узловой жесткий элемент заполнителя, розовый — ​МЗК, темно-синий — ​центральный элемент уплотненной прослойки цементного камня

Толщина МЗК рассчитывается как толщина прослойки воды, сорбированной заполнителем, определяемая как отношение объема сорбированной воды к удельной поверхности заполнителя. Относительная толщина слоя «зона контакта» определяется как отношение толщины МЗК к единичной толщине структурного слоя, включающего все эле­менты:

где S_itz — ​удельная поверхность зоны контакта; V_cem — ​объемная концентрация слоя «цементный камень + зона контакта»; V_agg — ​объемная концентрация слоя «заполнитель».

Значения относительной толщины слоев «цементный камень» и «заполнитель» определяются по формулам:

где C — ​расход цемента на 1 м³ смеси, ρ_con — ​средняя плотность смеси, ρ_agg — ​истинная плотность заполнителя, ρ_cp — ​плотность цементного теста нормальной густоты, W = С × W/C— ​общий расход воды, W/С — ​водоцементное отношение.

С использованием величин относительной толщины структурных слоев в работе [14] была получена адекватная слоевая структурная математическая модель расчета модуля упругости бетонов.

В настоящей работе КЭ моделирование выполнялось в программном комплексе ЛИРА-САПР. Соотношение сторон модели соответствовало размерам стандартной балки (10 × 10 × 40 см) для испытания модуля упругости бетона. Характеристики цементного камня в центральной прослойке и зоне контакта определялись по ранее полученной КЭ модели цементного камня [16]. Адекватность полученных КЭ моделей оценивалась по приведенным в работе [14] результатам расчета относительных толщин структурных слоев и экспериментальных исследований деформаций образцов бетона различных классов под нагрузкой.

Результаты исследований

Оценка адекватности структурной модели с усредненными геометрическими показателями в определении относительной толщины МЗК. В общем виде коэффициент плотного слоя определяется по формуле

где δ — ​толщина прослойки между зернами заполнителя, мкм; d_itz — ​толщина прослойки повышенного водосодержания у поверхности заполнителя, мкм.

Толщина прослойки между зернами заполнителя определяется по расчетной зависимости упаковок сфер

где d — ​средневзвешенный диаметр зерен заполнителя, который равен произведению модуля крупности (М_кр) и наименьшего диаметра зерен заполнителя (d_min); k_у — ​коэффициент уплотнения, равный соотношению радиусов межзерновых пустот и зерен заполнителя (r/r_з).

Коэффициент уплотнения определяется по выражению [17]

Коэффициент плотного слоя определяется по формуле

где d_itz — ​толщина прослойки повышенного водосодержания у поверхности заполнителя; d_min = 0,14 мм — ​наименьшая крупность его зерен; M_кр = 2,2 — ​модуль крупности заполнителя; Р = 0,4 — ​пустотность заполнителя; α — ​коэффициент раздвижки зерен (при соотношении цемент/песок (Ц/П), равном 1 : 1, 1 : 2, 1 : 3 и 1 : 4, α = 1,75; 1,43; 1,15 и 1,05 соответственно).

Толщина прослойки повышенного водосодержания рассчитывается по формуле

В табл. 1 приведены результаты расчета толщины МЗК на основе экспериментальных данных работы [17].

Тогда для выбранного вида заполнителя толщина МЗК составляет в среднем 64 мкм, что соответствует данным, полученным в работах [13, 18].

Проведенное исследование подтвердило адекватность монофракционной модели с усредненными геометрическими показателями в оценке толщины МЗК, что позволяет обоснованно применять данную модель в КЭ мо­делировании бетона.

Разработка КЭ модели цементного бетона. На рис. 2 приведена КЭ 3D-модель бетона, в качестве базового элемента которой, как указано выше, принят тетраэдр с жесткими узлами и неоднородными стержнями, включающими в себя имитационные участки заполнителя, МЗК и цементного камня в направлении от узлов к центру стержней.

Рис. 2. КЭ 3D-модель бетона

В соответствии с коэффициентом уплотнения бетонной смеси k_у = 0,96…0,98 cтруктурная плотность модели бетона задавалась равной 0,9. На основе этого значения рассчитывалась толщина стержневых связей по методике, изложенной в работе [16].

Свойства цементного камня в центральной прослойке и МЗК задавались по КЭ модели [16], позволяющей определять его механические и деформативные свойства в зависимости от W/С. Для учета нелинейности зависимостей между физическими свойствами характеристики связей задавали в виде диа­граммы напряжение—​деформация (в данном случае подразумевается, что до того, как будет достигнут предел прочности связи, совершается упругая работа, а затем элемент разрушается). На основе данной модели были определены деформационные и механические свойства (предел прочности при сжатии R_c и при растяжении R_р) цементного камня при W/С, соответствующих W/С экспериментальных бетонных смесей (табл. 2, рис. 3).

Рис. 3. Кривые деформирования цементного камня с различными W/С под нагрузкой

Для гранитного и кварцевого заполнителей были приняты усредненные значения модуля упругости (50 000 МПа) и прочности при сжатии (1000 МПа).

Предварительно для оценки адекватности трехэлементной модели была построена двух­элементная КЭ модель без выделения МЗК, однако результаты моделирования показали существенное завышение значений упругих характеристик. В связи с этим далее апробировались только трехэлементные модели. Были построе­ны три типа КЭ моделей:

1) жесткая стержневая, в которой предполагается жесткое прикрепление всех элементов структуры бетона друг к другу;

2) шарнирно-стержневая, в которой предполагается податливость на границе МЗК и заполнителя, а в модели — ​шарнир в стерж­не между участками МЗК и заполнителя;

3) шарнирно-стержневая, в которой предполагаются податливость на обеих границах раздела фаз и шарниры как на границе участков МЗК и заполнителя, так и на границе участков МЗК и цементного камня.

Были построены кривые деформирования для бетона с соответствующими данным работы [14] показателями толщины слоев agg, cem и itz (рис. 4).

Рис. 4. Кривые деформирования бетона при сжатии, рассчитанные по шарнирно-стержневым моделям: а — ​двухшарнирной (с шарнирами между заполнителем, МЗК и цементным камнем); б — ​жесткой стержневой (все узлы жесткие); в — ​одношарнирной (с шарнирами между МЗК и заполнителем)

Вариант со всеми шарнирными узлами приводил к геометрической изменяемости модели, ее низкой жесткости и прочности. Вариант со всеми жесткими узлами, наоборот, приводил к завышению прочности, при этом расчетный модуль упругости был довольно близок к начальному модулю упругости соответствующего бетона. Деформирование бетона под нагрузкой носит упругопластический характер, и в связи с этим наиболее адекватной представляется шарнирно-стерж­невая модель с шарниром между участками МЗК и заполнителем. Это соответствует разработанной ранее структурной модели деформирования бетона [14]. 

Изучение деформативных свойств цемент­ных композитов при мгновенном и длительном деформировании привело к выводу о том, что с самого начального этапа нагружения (10—20 % разрушающей нагрузки) в них происходят пластические деформации, развитие которых приводит к разрушению композита. При этом основным элементом, обеспечивающим пластические деформации, является зона контакта между цементным камнем и заполнителем, в которой развивается микротрещинообразование при нагружении и возникают пластичные слои скольжения (рис. 5).

Рис. 5. Три стадии деформирования бетона при нагружении. З — ​заполнитель, ЦК — ​цементный камень

Оценка адекватности разработанной КЭ модели цементного бетона. В результате была создана шарнирно-стержневая модель, элементом пластичности в которой является шарнир, установленный между МЗК и заполнителем. Нагружение проводилось до разрушения, происходившего по МЗК и цементному камню (рис. 6).

Рис. 6. Разрушенные цементные связи при нагружении КЭ модели бетона (выделены красным)

По данной КЭ модели были построены кривые деформирования бетона классов В5—В60 в соответствии с параметрами структуры и состава в работе [14] (рис. 7, а).

Рис. 7. Расчетные кривые деформирования бетонов: а — ​классов по прочности В5—В60, определенные по КЭ‑модели; б — ​классов по прочности В25 и В35 совместно с экспериментальными кривыми

На рис. 7, б, демонстрируется высокая сходимость экспериментальных кривых деформирования бетона класса В35 при определении модуля упругости и кривых, рассчитанных по модели в аналогичном диапазоне напряжений.

Для указанных классов бетона по КЭ моделям были рассчитаны показатели прочности и модуля упругости. Фактические и рассчитанные по слоевой структурной модели данные приведены в сравнении в табл. 3.

Анализ сходимости экспериментальных и расчетных значений деформаций и модуля упругости показывает вариативность в среднем не более 6 %, т. е. КЭ модель высокоточная и может применяться в прогнозировании деформативных свойств цементного бетона. 

В прогнозировании прочности точность модели несколько ниже. Ее значения оказались неудовлетворительными при расчете прочности неконструкционных бетонов, относящихся к классам менее В15. Для конструкционных бетонов в среднем погрешность не превышает 10 %, т. е. расчет по модели достаточно точен.

По полученной КЭ модели были рассчитаны модуль упругости и призменная прочности бетонов классов В25 и В30 различных составов (табл. 4), чтобы продемонстрировать возможность варьирования модуля упругости бетона при оптимизации состава бетонной смеси. Различие расчетных и экспериментальных данных не превышает 10 % по обоим показателям. Таким образом, оптимизация составов бетонных смесей по разработанной КЭ модели позволяет регулировать модуль упругости бетона в пределах 10 %. Значимость такого регулирования обоснована в работе [19].

Выводы

В результате проведенного анализа поставленные задачи выполнены и цель исследования достигнута.

Предложен метод расчета толщины межфазной зоны контакта в цементных бетонах с применением усредненных геометрических показателей, в том числе структурной плотности монофракционной упаковки, пустотности, модуля крупности, минимального размера час­тиц заполнителя и коэффициента гидравлического самоуплотнения. Рассчитанные параметры показали высокую сходимость с данными о толщине МЗК, что позволило применять монофракционную упаковку с модулем крупности, соответствующим фактическому, как основу для построения тетраэдрической стерж­­невой КЭ модели цементного бетона. В этой модели реализованы следующие принципы:

1) трехэлементность структуры бетона задается неоднородностью стержней по длине. Их разбивают на участки в соответствии с фактическим соотношением компонентов;

2) за узел крепления принимается центр заполнителя, далее следуют участок МЗК и участок цементного камня в центральной части стержня;

3) относительные длины участков стерж­ней рассчитываются на основе параметров состава бетонной смеси согласно методам, разработанным в работе [14];

4) толщины стержней определяются по показателям структурной плотности согласно методам, разработанным в работе [16];

5) характеристики участков цементного камня в центральной части и МЗК определяются по разработанным КЭ моделям цемент­ного камня [16];

6) в качестве элемента пластичности используется шарнир, устанавливаемый между структурными элементами или участками стержня в КЭ модели.

Сравнительный анализ результатов расчета и экспериментальных значений деформации жесткой стержневой и различных видов шарнирно-стержневых моделей, в которых узлами являются элементы заполнителя, а стержни делятся на участки МЗК и цементного камня, показал наиболее высокую адекватность шарнирно-стержневой модели, в которой шарнир установлен в стержне между участками заполнителя и МЗК. Жесткая модель является исключительно упругой, модель с шарнирами между всеми элементами — ​пластичной, а модель с одним шарниром обеспечивает упругопластический характер деформации. 

Вместе с тем отметим перспективность многошарнирной модели для прогнозирования свойств бетона в пластической зоне деформаций при нагружении.

При оценке адекватности полученной упругопластичной шарнирно-стержневой КЭ мо­дели погрешность в среднем не превыша­ла 6 % при прогнозировании модуля упругости и 10 % при прогнозировании прочности. Такие показатели удовлетворительны. Отметим, что в разработанной модели относительные длины участков стержней взаи­мосвязаны с показателями состава бетонной смеси и яв­ляются параметром оптимизации с применением КЭ модели. Таким образом, в разработанной КЭ мо­дели цементного бетона реализована взаимосвязь между составом бетонной смеси и его механическими и деформативными свойствами.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23—29—00425, https://rscf.ru/project/23—29—00425/.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чернышов Е.М., Макеев А.И. К развитию теории конструирования и синтеза структур конгломератных строительных композитов // Фундаментальные, поисковые и прикладные исследования Российской академии архитектуры и строительных наук по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2019 году: Сб. науч. трудов РААСН. Т. 2. М.: АСВ, 2020. С. 482—502.

2. Бузовская Я.А. Структура конечно-элементной модели изгибаемого железобетонного элемента с учетом сцепления арматуры с бетоном // Традиции и инновации в строительстве и архитектуре. Строительство и строительные технологии: сб. статей 78-й Всеросс. науч.-техн. конф., Самара, 19—23 апреля 2021 года. С. 72—81.

3. Ряжских Б.Е., Джавид М.М. Методы конечно-элементного моделирования и расчета несущей способности двухслойных железобетонных балок с высокопрочным бетоном в сжатой зоне на примере программного комплекса ЛИРА-САПР // Вестн. евразийской науки. 2023. Т. 15, № 4.

4. Данилов М.Н. Структурно-феноменологическая модель деформирования бетона // Сб. тр. XII Всеросс. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, 19—24 августа 2019 года. Т. 3. С. 1061—1063.

5. Кукса Л.В., Арзамаскова Л.М., Евдокимов Е.Е. Методы расчета элементов конструкций из структурно-неоднородных материалов с учетом анизотропии физико-механических свойств, масштабных и геометрических факторов // Изв. Волгоградского гос. технич. ун-та. 2008. № 10 (48). С. 112—118.

6. Кукса Л.В. Разработка методов расчета элементов конструкций на основе конечно-элементной модели бетона // Вестн. Волгоградского гос. архитектурно-строительного ун-та. Серия: Технические науки. 2005. № 5. С. 9—15.

7. Чернышов Е.М., Макеев А.И. Формирование полей напряжений в однородно/неоднородной структуре конгломератных строительных композитов: формализации к разработке моделей управления // Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений (APCSCE 2018): программа и тез. докл., Новосибирск, 01—08 июля 2018 года. С. 141.

8. Харитонов А.М., Харитонов М.И., Тихонов Ю.М. Расчет динамического модуля упругости цементных композиций на основе метода имитационного моделирования // Вестн. гражданских инженеров. 2017. № 6 (65). С. 158—163. DOI: 10.23968/1999—5571—2017—14—6—158—163.

9. Zhou R., Zhenhuan Z., Lu Y. 3D mesoscale finite element modelling of concrete // Computers and Structures. 2017. Vol. 192. P. 96—113. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2017.07.009.

10. Yu T., Teng J.G., Wong Y.L., Dong S.L. Finite element modeling of confined concrete-II: Plastic-damage model // Engin. Struct. 2010. Vol. 32, N 3. P. 680—691. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2009.11.013.

11. Li G., Zhao Y., Pang S.S. Four-phase sphere modeling of effective bulk modulus of concrete // Cement and Concrete Res. 1999. DOI: 10.1016/S 0008—8846(99)00040-X.

12. Zhu X., Gao Y., Dai Z., Corr D.J., et al. Effect of interfacial transition zone on the Young’s modulus of carbon nanofiber reinforced cement concrete // Cement and Concrete Res. 2018. Vol. 107. P. 49—63. DOI: 10.1016/j.cemconres.2018.02.014.

13. Grondin F., Matallah M. How to consider the Interfacial Transition Zones in the finite element modelling of concrete? // Cement and Concrete Res. 2014. Vol. 58. P. 67—75. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cemconres.2014.01.009.

14. Korolev A., Vatin N. Elasticity modulus of cement composites predicting using layer structure model // Mag. of Civil Engin. 2021. Vol. 104, N 4. Article N 10413. DOI: 10.34910/MCE.104.13.

15. Korolev A., Vatin N. Layer model of elasticity modulus prediction for lightweight concretes // Mag. of Civil Engin. 2021. Vol. 106, N 6. Article N 10611. DOI: 10.34910/MCE.106.11.

16. Королев А.С., Задорин А.А., Мишнев М.В. Прогнозирование модуля упругости цементного камня с применением микроструктурной модели и метода конечных элементов // Цемент и его применение. 2023. № 6. С. 54—61.

17. Королев А.С. Управление водонепроницаемостью цементных композитов путем направленного уплотнения гидратной структуры цементного камня. Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. 148 с.

18. Ларионова З.М., Никитина Л.В., Гарашин В.Р. Фазовый состав, микроструктура и прочность цементного камня и бетона. М.: Стройиздат, 1977. 263 с.

19. Korolev A.S., Kopp A., Odnoburtsev D., et al. Compressive and tensile elastic properties of concrete: empirical factors in span reinforced structures design // Materials. 2021. Vol. 14. P. 7578. DOI: https://doi.org/10.3390/ma14247578.