Механика дробящей среды в шаровых барабанных мельницах с поперечно-продольным движением мелющих тел

РЕФЕРАТ. В статье рассматривается методика расчета кинематических параметров движения мелющих тел в шаровой барабанной мельнице с их поперечно-продольным перемещением. Получены математические зависимости, позволяющие рассчитать углы отрыва шара от внутренней поверхности барабана мельницы и наклонной межкамерной перегородки. Приведен анализ расчетов траектории движения и углов отрыва шара в течение цикла. Подтверждена интенсификация движения мелющих тел за счет их дополнительного продольного перемещения наклонной межкамерной перегородкой.

Ключевые слова: шаровая барабанная мельница, мелющие тела, шар, траектория движения, угол отрыва, сила давления, частота вращения.

Keywords: ball-tube mill, grinding bodies, ball, motion trajectory, separation angle, press force, rotation frequency.

Введение

Расчет кинематических, энергетических, динамических, скоростных параметров мелющей среды в шаровых барабанных мельницах, до настоящего времени, основан на применении теории Дэвиса, согласно которой шар до точки отрыва перемещается по круговой траектории вместе с барабаном мельницы, а затем, в точке отрыва, переходит на параболическую траекторию свободного падения, совершая измельчение ударом в точке падения [1—6]. При рассмотрении кинематики движения мелющих тел в шаровой барабанной мельнице в классической постановке вопроса физико-механические свойства измельчаемого материала не учитываются [2, 5, 7, 8].

В течение одного оборота барабана мельницы размер частиц и их физико–механические свойства изменяются в широких пределах. Исходный размер частиц 30—50 мм уменьшается в сотни раз и становится меньше 10 мкм. В связи с тем, что час­тицы разрушают­ся по дефектам структуры, наступает такой момент, когда частица уже не имеет дефектов и для ее разрушения требуется суще­ственно бóльшая энергия. На каж­дом участке барабана мельницы находятся частицы, различающиеся по размерам в тысячи раз, что подтверждается диаграммами помола. Как показали наши собственные исследования и исследования других авторов, наличие в шаровой мельнице измельчаемого материала повышает потребляемую мощность привода мельницы не более чем на 15 % [1—6]. Существующие методики расчета потребляемой мощности привода дают погрешность до 60 %. Поэтому учет материала не только усложнит получение математических моделей, но и снизит их адекватность. В связи с этим при построении модели механики дробящей среды в мельнице с поперечно-продольным движением (ППД) мелющих тел мы также считаем нецелесообразным учитывать физико-механические свойства измельчаемого материала.

Зная параметры движения шара в течение цикла в мельнице с ППД мелющих тел, мы сможем рассчитать все основные кинематические, энергетические, технологические и конструктивные параметры мельницы. В нашей модели мы рассматриваем не один шар, а совокупность шаров, находящихся одновременно на расчетной траектории движения в течение одного цикла. При этом на шар в момент его отрыва от внутренней поверхности барабана действует не только сила давления барабана, но и продольная сила со стороны плоскости наклонной перегородки.

Здесь мы предлагаем принципиально новый подход при рассмотрении траектории движения шаров в течение цикла в мельнице с ППД мелющих тел. Рассчитав траекторию движения шара в неподвижной системе координат, в соответствии с теорией Дэвиса, мы вводим подвижную систему координат, расположенную в плоскости наклонной перегородки, и далее рассчитываем траекторию всей совокупности шаров при последовательном изменении положения этой перегородки [9].

Расчет угла отрыва шара, находящегося на наклонной межкамерной перегородке

В принятой расчетной системе координат (рис. 1) на шар, находящийся на наклонной межкамерной перегородке и вместе с тем контактирующий с внутренней поверхностью барабана мельницы, одновременно действуют вес шара (G), сила инерции (C), сила реакции барабана (N_б) и дополнительная сила реакции (N_П) со стороны наклонной перегородки, направленная перпендикулярно плоскости перегородки.

Рис. 1. Расчетная схема действующих сил в выбранной системе координат

Уравнение равновесия шара, находящегося на наклонной перегородке, имеет вид:

где N_б и N_П — ​силы реакции барабана и наклонной перегородки соответственно, C — ​центробежная сила, G — ​вес шара.

В принятой неподвижной системе координат OXYZ (рис. 1) для расчета значений сил реакции барабана N_б и наклонной перегородки N_П на шар получим уравнения:

Данная система уравнений справедлива до того момента, пока шар движется вместе с барабаном, одновременно находясь на поверхности наклонной межкамерной перегородки.

Если сила N_б станет равной нулю, то шар оторвется от внутренней поверхности барабана, но продолжит свое движение вдоль поверх­ности наклонной межкамерной перегородки. Уравнения, описывающие его движение, примут вид:

Cила реакции наклонной межкамерной перегородки рассчитывается по уравнению:

Если первой по времени станет равной нулю реакция N_П со стороны наклонной перегородки, то шар оторвется от нее, и дальнейшее его движение будет описываться уравнениями:

Если шар при последующем движении не упадет на наклонную перегородку, то его отрыв от внутренней поверхности барабана произойдет при значении угла, равном:

Таким образом, угол отрыва от внутренней поверхности барабана мельницы известен — ​он определяется по уравнению (6). Далее рассчитаем угол отрыва шара от барабана при его контакте с наклонной перегородкой. С этой целью мы получили уравнения, характеризующие положение шара на этой перегородке при его одновременном контакте с барабаном мельницы:

Уравнения (7) учитывают все основные факторы, влияющие на угол отрыва α: частоту ψ вращения барабана мельницы, угол β наклона перегородки и ее положение по отношению к шару.

Численное решение уравнений (7) позво­ляет получить любую из функций α (ξ, β, ψ), которые имеют синусоидальный характер, а, следовательно, им присуще наличие экстремумов. Из этого следует, что при изменении угла отрыва шара α от минимума до максимума за один оборот барабана мельницы, оснащенной наклонной межкамерной перегородкой, на каждом участке барабана мельницы каскадный режим работы мелющих тел изменяется на водопадный, при котором обеспечивается селективность измельчения в целом.

Однако характер движения мелющих тел описывается наиболее полно, если известно положение шара по отношению к наклонной перегородке в момент его отрыва от барабана мельницы. С этой целью мы ввели дополнительные относительные координаты OX’Z’ (рис. 1). В принятой сис­теме координат угол γ определяет положение центра тяжести шара в момент его отрыва от барабана мельницы по отношению оси Z. Этот угол описывается уравнением γ (ξ, α, β).

Положение центра тяжести шара в непо­движной системе координат OXYZ в момент его отрыва от барабана мельницы описывается уравнениями:

Введя еще одну подвижную ось Z’’, которая является проекцией оси Z’ на плоскость XOZ, получим:

Тогда в подвижной системе координат получаем следующее:

С учетом уравнений (9) и (10) координаты положения центра тяжести шара по отношению к наклонной перегородке в момент отрыва от барабана мельницы можно рассчитать следующим образом:

Исходя из расчетной схемы (рис. 1) и с учетом (11) имеем:

Исходя из уравнения (12), определим угол γ:

На рис. 2 представлены некоторые результаты численного решения уравнений γ (α, ξ, β) и α (ψ, β, ξ). Наибольший интерес представляют функции α, γ (ξ) при β и ψ = const. Характером графиков α (ξ), приведенных на рис. 2, и той же зависимости, полученной аналитически, полностью подтверждается наш вывод о существенном изменении кинетики шаровой загрузки в мельнице, оснащенной наклонной межкамерной перегородкой. В обычных шаровых барабанных мельницах угол отрыва шара от внутренней поверхности барабана в течение цикла не изменяется; при частоте вращения ψ, равной 0,76 ее критического значения, он составляет 54° и на графике отображается прямой, параллельной оси.

Рис. 2. Расчетные зависимости a(x) (1, 3) и ​g(x) (2, 4) при y = 0,76 и b = 45° (1, 2) и при y = 0,90 и b = 30° (3, 4)

В мельницах с наклонной межкамерной перегородкой этот угол изменяется в широких пределах (см. рис. 2). Например, при β = 30° и ψ = 0,9 угол отрыва шара изменяет­ся от 15 до 89°, при β = 45° и ψ = 0,7 — ​от 35 до 80°. В обычной мельнице угол отрыва постоянен в течение цикла и равен соответ­ственно 36 и 60°.

Отметим, что с увеличением частоты вращения барабана мельницы на всех участках траектории, кроме 60° < γ < 105°, высота подъе­ма шара увеличивается, и энергия шаров соответственно возрастает.

Из данных рис. 2 следует, что на участке траектории движения мелющих тел, равном четверти оборота барабана мельницы, шары поднимаются на значительно бóльшую высоту, чем в обычных барабанных мельницах, и им сообщается бóльшая потенциальная энергия, которая обеспечивает бóльшую эффективность измельчения.

Данные рис. 2 также показывают, что наибольшая высота подъема мелющих тел соответствует такому взаимному расположению шара и наклонной перегородки, при котором точка А контакта шара с наклонной перегородкой находится в области 0° < γ < 105°. Этот аналитический вывод позволяет найти конструктивное решение, основанное на взаим­ном расположении наклонных межкамерных перегородок, максимальную высоту подъе­ма мелющих тел по вcей длине барабана мельницы.

Выводы

При постоянной частоте вращения барабана мельницы и заданном угле наклона межкамерной перегородки наблюдается значительное изменение угла отрыва шара, что в целом существенно изменяет режим работы мелющих тел.

Во всем цикле движения шаров можно выделить три характерных режима их движения: 1) когда они поднимаются на бóльшую высоту, чем у обычных мельниц (это состав­ляет четверть оборота барабана); 2) они поднимаются на меньшую высоту (около одной восьмой оборота барабана); 3) они имеют такой же угол отрыва, как и у шаров в обычных мельницах (около половины оборота). Наблюдается лавинообразный отрыв шаров от барабана мельницы, когда за небольшой промежуток времени на свободные траектории падения переходит около 30 % мелющих тел, находящихся в зоне расположения наклонной межкамерной перегородки.

Источник финансирования

Работа выполнена в рамках поддержанного Российским научным фондом проекта № 22—29—01438.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дуда В. Цемент. М.: Стройиздат, 1981. 464 с.

2. Андреев С.Е., Зверевич В.В., Перов В.А. Дробление, измельчение и грохочение полезных ископаемых. М.: Недра, 1980. 415 с.

3. Крюков Д.К. Футеровка шаровых мельниц. М.: Машиностроение, 1965. 184 с.

4. Горобец В.И., Горобец Л.Ж. Новое направление работ по измельчению. М.: Недра, 1977. 183 с.

5. Богданов В.С., Шарапов Р.Р., Фадин Ю.М. Основы расчета машин и оборудования предприятий строительных материалов и изделий. Старый Оскол: ТНТ, 2013. 680 с.

6. Богданов В.С., Богданов Д.В., Семикопенко И.А. Процессы в производстве строительных материалов. Старый Оскол: ТНТ, 2018. 436 с.

7. Reichardt R., Wiechert W. Event driven algorithms applied to a high energy ball mill simulation // Granular Matter. 2007. Vol. 9, N 3—4. P. 251—266.

8. Лилу Ж., Кукарт М. Модернизация помольных мощностей ОАО «Гарадаг Цемент» // Цемент и его применение. 2012. № 5. С. 208—209.

9. Bogdanov V.S., Dontsova Y.A., Bogdanov N.E. Mechanics of the grinding media in ball mills with longitudinal and transverse motion of the grinding mtdia // ZKG Cement Lime Gypsum. 2019. Vol. 6. P. 15—24.